Problèmes Inverses en Mécanique
Quiberon
9-14 sept. 2024
13ème école d'été de mécanique théorique à destination des doctorants et chercheurs en Mécanique
Edition 2024: Problèmes Inverses en Mécanique
On s’intéresse souvent en mécanique aux problèmes directs consistant à chercher le champ de déplacements ou de vitesses, connaissant les caractéristiques du solide ou du fluide ainsi que les conditions aux limites et les efforts que subis le milieu continu. On se place alors dans un cadre fonctionnel où le problème aux limites est bien posé au sens d’Hadamard. Cela signifie que le problème admet une solution unique qui dépend de manière continue des données (efforts volumiques, conditions aux limites et conditions initiales).
Cependant, de nombreuses applications très importantes nécessitent l’étude du problème inverse. En effet, expérimentalement, il est souvent difficile d’accéder à une partie des conditions aux limites sur une partie du bord (quand il s’agit d’un problème elliptique). Par exemple pour un problème de conduction thermique stationnaire dans un matériau où une partie de son bord est en contact avec un milieu auquel il est impossible d’accéder pour mesurer le flux ou la température, on peut mesurer à la fois le flux et la température sur la partie accessible du bord afin de déterminer par résolution de l’équation de conduction thermique le champ de température à l’intérieur du matériau et sa valeur sur la partie inaccessible du bord. Mais malheureusement ce problème dit de Cauchy associé à une équation elliptique (équation de diffusion) est mal posé au sens d’Hadamard. Cela signifie, qu’une petite erreur de mesure sur la température ou le flux sur la partie accessible du bord induit une grande erreur sur le champ de température dans le matériau. Un autre exemple, qui pose des difficultés semblables, est celui de l’identification des paramètres physiques d’un milieu à partir de mesures liées à la propagation d’ondes dans ce milieu. Cette fois le modèle associé est celui d’une équation hyperbolique. Il s’agit d’un problème important pour le contrôle non destructif (par ultrasons) ou pour l’étude des zones sismiques. On peut lister ainsi de nombreuses applications en mécanique conduisant à des problèmes inverses qui nécessitent des méthodes particulières pour contourner les difficultés associées à la sensibilité aux données.
Au cours de cette école thématique, nous aborderons à la fois les fondements mathématiques des méthodes, la construction des algorithmes associés, la mise en œuvre numérique ainsi que le déploiement sur de nombreuses applications.
Les éditions précédentes
Le principe de l'organisation de cette série d'écoles d'été de mécanique théorique est né du constat d'une certaine désaffection de la communauté mécanicienne française vis-à-vis des fondements de sa discipline. Ce mouvement est sans doute en partie une conséquence des retombées spectaculaires des progrès de la mécanique dans les domaines technologiques. Il en a résulté un souci légitime de la communauté mécanicienne de produire un savoir-faire immédiatement utilisable par la société en vue du progrès technologique. Il nous semble cependant vital de rappeler que les progrès des fondements de la mécanique sont tout aussi importants que l'accompagnement de ses applications immédiates, et que ce sont les progrès fondamentaux d'aujourd'hui qui font les retombées technologiques de demain. Nous considérons également comme essentiel que toute formation dans le domaine de la Mécanique comprenne une sensibilisation aux aspects théoriques qui en font un champ de connaissance vivant étendant sans cesse son champ d'application.
Pour remettre la mécanique fondamentale à l'honneur, nous nous proposons d'organiser à intervalles réguliers des écoles concernant chacune un thème de mécanique théorique dont au moins une connaissance élémentaire nous paraît indispensable à tout mécanicien professionnel. Les thèmes retenus pour les dix premières écoles de mécanique théorique ont été :
- Méthodes Asymptotiques en Mécanique
- Milieux Continus Généralisés
- Analyse Variationnelle et Microstructuration
- Instabilités et Bifurcation en Mécanique
- Méthodes Géométriques en Mécanique
- Analyse Spectrale en Mécanique
- Thermodynamique des Processus Irréversibles
- Théorie du contrôle en mécanique
- Méthodes Probabilistes et Stochastiques en Mécanique
- Géométrie Différentielle en Mécanique
- Champs de Phases en Mécanique
- Approches théoriques pour les métamatériaux
Cette manifestation est subventionnée par le CNRS au titre des écoles thématiques, ainsi que par l'AUM-AFM.
