Problèmes Inverses en Mécanique

Quiberon 9-14 sept. 2024

13^ème école d'été de mécanique théorique à destination des doctorants et chercheurs en Mécanique

Intitulés et résumés des cours

Mejdi Azaiez
Opérateur de Steklov-Poincaré pour le problème de complétion de données.

Opérateur de Steklov-Poincaré pour le problème de complétion de données.
Le but du cours est d’introduire une théorie variationnelle pour le problème de Cauchy de complétion des données. La formulation est étudiée dans les espaces de Sobolev. Sa reformulation, grâce à l'opérateur de Dirichlet à Neumann, permet de prouver plusieurs résultats mathématiques et numériques. En se basant sur les propriétés de l’opérateur de Steklov-Poincaré obtenu, on établira le lien avec certaines méthodes de minimisation bien connues. (Cette partie fera l’objet du premier cours)

En raison du caractère mal posé du problème de Cauchy-Steklov-Poincaré, une simulation numérique efficace de celui-ci peut difficilement être réalisée sans certains outils de régularisation. Associés à des critères d'arrêt soigneusement choisis, ils assurent la stabilité des calculs et atténuent les perturbations du bruit provoquées par des mesures éventuellement erronées. Pour cela nous nous intéresserons principalement au schéma de Tikhonov couplé avec la méthode des éléments finis appliqués au problème de complétion de données instables. On envisagera les deux cas suivants
i.– Approximation de la solution exacte, pour données compatibles.
ii.– Fournir une pseudo-solution cohérente, pour les données incompatibles, qui s'avère également être une séquence minimisante de la fonction d'écart de Kohn-Vogelius. (Cette partie sera traitée dans le second cours)

Enfin, dans le dernier cours, nous rapporterons et discuterons quelques expériences numériques pour valider les prédictions théoriques présentées dans les deux premiers cours, dans le cadre du problème du Laplacien. On profitera aussi pour donner quelques remarques sur l’extension de l’approche à d’autres opérateurs tels que Stokes, élasticité, …

Le cours est issu des deux références suivantes :

F. Ben Belgacem, V. Girault, F. Jelassi. -- Full Discretization of Cauchy’s Problem by Lavrentiev-Finite Element Method. SIAM Jour. of Numer. Analysis, 60, pp 558-584, (2022)

F. Ben Belgacem and H. El Fekih -- On Cauchy's problem: I. A variational Steklov-Poincaré theory, Inverse Problems, 21, 1915-36 (2005)
M. Azaïez, F. Ben Belgacem and H. El Fekih. On Cauchy's problem: II. Completion, regularization and approximation. Inverse Problems, 22-4, (2006)
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Marc Bonnet
Aspects généraux, optimisation contrainte par EDP, erreur en relation de comportement, compléments.

Aspects généraux, optimisation contrainte par EDP, erreur en relation de comportement, compléments.
1/ Généralités sur les problèmes inverses. Problématique de la mesure indirecte et panorama des situations très variées où ils apparaissent, en Mécanique et beaucoup d'autres branches de la physique et l'ingénierie. Cacactère généralement mal posé de l'inversion de modèles mathématique de la physique et mise en évidence sur des exemples représentatifs. Importance de la régularisation et de la prise en compte d'information a priori, et remarques introductives sur le caractère déterministe ou bayésien de leur description. Inversion en dimension finie: conditionnement, valeurs singulières et rang numérique faible.

2/ Inversion par optimisation contrainte par EDP. On présentera le cadre classique reposant sur l'optimisation d'une fonction objectif (éventuellement régularisée) mesurant l'écart entre données expérimentales et leur prédiction par le modèle (problème direct), et en particulier la notion d'état adjoint et les principes des algorithmes classiques d'optimisation dans ce contexte. On abordera aussi l'apport de la réduction de modèles. Enfin, les approches séquentielles de type assimilation de données et leur traitement par filtrage de Kalman seront également traitées.

3/ Fonctionnelles d'erreur en relation de comportement. Ces fonctionnnelles, directement issues des principes fondamentaux de la mécanique, sont particulièrement adaptées aux problèmes d'identification et d'imagerie de (champs de) propriétés de matériaux. On en présentera le principe, leur mise en oeuvre dans le cadre de l'optimisation contrainte par EDP (conduisant à un problème de stationnarité direct-adjoint couplé), leur interprétation en tant que fonction objectif régularisée, en insistant sur certaines propriétés très utiles (convexité asymptotique, caractère bien posé du problème de stationnarité pour des mesures de champs et des conditions aux limites incomplètes).

4/ En complément, tout ou partie des aspects suivants seront évoqués (avec l'accent sur les idées principales plus qu'une exposition techniquement détaillée), en fonction du temps disponible et de la complémentarité avec les autres interventions :
* Méthodes à caractère qualitatif pour l'identification de défauts par auscultation dynamique. Cela recouvre notamment des approches basées sur la notion de "sampling" (linear sampling, factorisation) ou l'exploitation de retournement temporel (migration, imagerie par gradient topologique).
* Méthodes d'inversion avec régularisation privilégiant les représentations parcimonieuses de paramètres à identifier.

De façon générale, l'ordre, et dans certains cas le niveau de détail, de certains sujets sera au besoin ajusté pour l'harmonie et la cohérence avec les autres interventions.
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Laurent Bourgeois
Prolongement unique et régularisation des problèmes inverses mal posés.

Prolongement unique et régularisation des problèmes inverses mal posés.
Le cours se divise en 2 parties.

1. Prolongement unique et propriété d'unicité dans les problèmes inverses gouvernés par des EDP

Nous commencerons par énoncer le théorème d'Holmgren et son application au prolongement unique pour les trois équations classiques à coefficients constants : équation de Laplace, de la chaleur et des ondes. Nous évoquerons rapidement le cas des systèmes : Stokes et élasticité.

Nous expliquerons comment les inégalités de Carleman permettent d'étendre le prolongement unique aux équations à coefficients non constants, voire peu réguliers.

Enfin, nous montrerons comment le prolongement unique permet de montrer des résultats d'unicité pour des problèmes inverses linéaires (problème de Cauchy du Laplacien, identification des conditions initiales pour l'équation des ondes à partir de mesures intérieures), et non-linéaires (problème inverse de Robin, problèmes inverse de l'obstacle).

2. Régularisation des problèmes mal posés linéaires.

Nous commencerons par introduire un cadre général de problème inverse linéaire mal posé en dimension infinie et présenterons quelques exemples. Nous introduirons la notion de régularisation de Tikhonov et ses principales propriétés mathématiques.

La problématique du choix du paramètre de régularisation en présence de données erronées sera ensuite présentée, avec un accent particulier mis sur le principe de Morozov et sa justification mathématique. Suivant l'avancement du cours, nous montrerons le lien entre ce principe et la dualité de Fenchel-Rockafellar.

Nous terminerons par des exemples concrets d'application d’une telle stratégie de Tikhonov-Morozov.
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Alain Cimetière
Méthode inverse à régularisation évanescente pour la complétion et la correction de données dans les problèmes de Cauchy.

Méthode inverse à régularisation évanescente pour la complétion et la correction de données dans les problèmes de Cauchy.
L’objectif du cours est de présenter une méthode inverse pour les problèmes de Cauchy stationnaires à la fois exacte, robuste et capable de supprimer le bruit qui entache les données.

La méthode concerne des problèmes pour lesquels la physique du milieu, décrite par l’équation aux dérivées partielles du problème de Cauchy, est parfaitement identifiée alors que les données sur la partie accessible du bord peuvent souffrir d’incertitudes.

Lors de la première séance de cours, le principe de la méthode inverse sera introduit sur un problème de Cauchy modèle, celui de la répartition de la température dans un milieu thermiquement homogène, lorsque sont donnés à la fois température et flux de chaleur sur une partie du bord. On montrera que la méthode inverse introduite peut être interprétée comme une méthode de point fixe pour un opérateur non contractant. La convergence des itérations vers la solution du problème de Cauchy sera établie pour des données compatibles. Le nombre des données sur la partie accessible du bord peut être inférieur au nombre des inconnues sur la partie du bord où les données sont inaccessibles.

La deuxième séance de cours sera consacrée à la présentation de variantes de la méthode qui améliorent significativement la reconstruction des flux inconnus, en particulier lorsque le domaine présente des singularités sur son bord, par exemple un coin rentrant.
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Angèle Niclas
Approches Bayésiennes pour les problèmes inverses.

Approches Bayésiennes pour les problèmes inverses.
1 – Introduction et motivation du cadre bayésien

Le cours commencera par motiver l'adoption du cadre bayésien pour aborder les problèmes inverses en s’appuyant sur quelques cas concrets. Après un rappel de certains concepts et des outils probabilistes, nous définirons les notions de prior/posterior et présenterons certains choix usuels de priors. Nous discuterons ensuite des estimateurs pertinents pour résoudre les problèmes inverses.

2 – Théorème de Bayes et calculs de distribution à posteriori

Après avoir rappelé l'énoncé du théorème de Bayes, nous explorerons son utilisation pour obtenir une formulation explicite des distributions a posteriori. Nous nous focaliserons sur les priors gaussiens, qui permettent des calculs explicites. Nous établirons ensuite une corrélation entre les conclusions tirées par les divers estimateurs dans l'approche bayésienne et les résultats obtenus par les méthodes de régularisation de type Tikhonov.

3 – Grande dimension

Nous aborderons ensuite la question de la grande dimension, en examinant des méthodes numériques efficaces pour simuler les distributions a posteriori ainsi que leurs estimateurs. Nous présenterons notamment les méthodes de Monte-Carlo (MC) et de Monte-Carlo par chaîne de Markov (MCMC), tout en analysant leurs avantages respectifs et en discutant de leurs critères de convergence.

4 – Cas pratique

Nous terminerons le cours par un TP au cours duquel les participants auront l'opportunité de mettre en œuvre une méthode MCMC avec l’algorithme de Metropolis-Hastings. Après s'être familiarisés avec son utilisation dans le contexte d'estimations paramétriques unidimensionnelles, les participants auront l'occasion de l’appliquer à des problèmes inverses plus complexes en grande dimension. A travers ce TP, nous illustrerons également l'importance du choix du prior, et du noyau dans les méthodes MCMC.
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Prérequis

- Équations de base de la mécanique
- Algèbre linéaire et calcul différentiel
- Bases des méthodes numériques

Les cours seront conçus de façon à ce que la mise à niveau préliminaire ne soit pas nécessaire. Ils seront ajustés au niveau des connaissances réelles des stagiaires. Les notions mathématiques avancées seront introduites au fur et à mesure des besoins.

Programme

L'arrivée des participants est prévu dimanche le 8 septembre vers le cocktail de bienvenue et le dîner. Le dernier cours aura lieu samedi le 14 septembre avant le déjeuner.

Lundi 9 sept. 2024 09h00-10h30 : Marc Bonnet 10h45-12h15 : Marc Bonnet 12h15 : Déjeuner 16h00-17h30 : Laurent Bourgeois 17h45-19h15 : Laurent Bourgeois	Jeudi 12 sept. 2024 09h00-10h30 : Marc Bonnet 10h45-12h15 : Laurent Bourgeois 12h15 : Déjeuner 16h00-17h30 : Alain Cimetière 17h45-19h15 : Angèle Niclas
Mardi 10 sept. 2024 09h00-10h30 : Angèle Niclas 10h45-12h15 : Mejdi Azaiez 12h15 : Déjeuner 16h00-17h30 : Marc Bonnet 17h45-19h15 : Laurent Bourgeois	Vendredi 13 sept. 2024 09h00-10h30 : Marc Bonnet 10h45-12h15 : Laurent Bourgeois 12h15 : Déjeuner 16h00-17h30 : Mejdi Azaiez 17h45-19h15 : L. B. & M. B.
Mercredi 11 sept. 2024 09h00-10h30 : Alain Cimetière 10h45-12h15 : Angèle Niclas 12h15 : Déjeuner	Samedi 14 sept. 2024 09h00-10h30 : Angèle Niclas 10h45-12h15 : Mejdi Azaiez 12h15 : Déjeuner